Математика on-line   


Поиск по сайту

Рейтинг@Mail.ru

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

Асимптоты графика функции.


   В других разделах было показано, что исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.
   Поэтому прежде чем построить кривую, нужно провести еще исследование ее уравнения на асимптоты.
   Дадим более полное определение асимптоты.
Рисунок 1.
   Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
   Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
   Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
   Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых .
   Уравнение вертикальной асимптоты будет
x = a     (1)
   В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когда x ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)

Рисунок 2.
   Теперь предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту. Из произвольно выбранной на кривой точке M(x; y) опустим перпендикуляр MN на асимптоту AB и перпендикуляр MP на ось Ox (рис.2). Тогда имеем LM = PM - PL, т.е. LM = f(x) - y, где f(x) и y - ординаты точек M и L соответственно кривой и асимптоты, имеющих одинаковую абсциссу x.
   Согласно определению асимптоты, при неограниченном увеличении абсциссы x (т.е. при удалении точки M по кривой в бесконечность) расстояние MN кривой от асимптоты неограниченно уменьшается, т.е . Вместе с перпендикуляром MN будет неограниченно уменьшаться и LM = f(x) - y :
     (2)
   В самом деле, из DLMN имеем
где a - угол наклона асимптоты. Так как cos a = const, то
   Пусть y = kx + b - уравнение асимптоты: тогда
откуда
f(x) = kx + b + b     (3)
где b - бесконечно малая при x ® +Ґ.
   Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а b ®0 при x ® +Ґ, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когда x ® -Ґ

   Однако не всегда легко представить уравнение кривой в виде (3). Поэтому для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b.
    Запишем условие (3) в виде
   При x ® +Ґ слагаемое стремится к нулю, а потому
     (4)
   Теперь из уравнения
f(x) = kx + b + b
находим b:
b = f(x) - kx - b
или, так как ,
     (5)
   Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x®+Ґ асимптоту
y = kx + b,
где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x®-Ґ формулы такие же, но пределы находятся при x®-Ґ.
   При k = 0 получаем уравнение
y = b
горизонтальной асимптоты, причем
понятие производной : : формулы нахождения производной : : производные высших порядков : : дифференцирование функций заданных параметрически : : применение производной к исследованию функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА