Математика on-line   


Поиск по сайту

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

первообразная и неопределенный интеграл :: формулы интегрирования :: метод подстановки :: интегрирование по частям :: определенный интеграл :: несобственный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

  Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)
  В интегральном исчислении решается обратная задача:
  Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением
F'(x)=f(x)
или
dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx

  Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
  Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если
f(x) = j(x) + C
  то
f '(x) = j'(x)
  или
f '(x)dx = j'(x)dx
  Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j(x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если
f '(x) = j'(x) или df(x) = dj(x),
  то
f(x) = j(x) + С
  Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
  Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом
  Таким образом, по определению,
где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
  Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
  Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
  Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

первообразная и неопределенный интеграл :: формулы интегрирования :: метод подстановки :: интегрирование по частям :: определенный интеграл :: несобственный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЕКЛАМА