Математика on-line   


Поиск по сайту

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

Показательная функция комплексного числа

  Обобщим понятие о показательной функции на случай любоко комплексного показателя. При вещественном показателе функция e x может быть представлена в виде ряда:
  Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т.е. положим:
  Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда:
,
откуда, вспомнив разложения cosy и siny в ряд, определяем:
eyi = cosy + i siny .
(18)

  Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе.
  Заменяя y на (-y):
e-yi = cosy - i siny .
(19)

и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:
;   .
(20)

  Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:
r (cos j + i sin j) = r eji
  Показательную функцию при любом комплексном показателе x + yi определяем формулой:
ex+yi = exeyi = ex(cosy + i siny)
(21)

т.е. модуль числа ex+yi будем считать равным ex, а аргумент равным y
  Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении.
  Пусть z = x+yi  и  z1 = x1+y1i:
или, применяя правило умножения комплексных чисел:
  Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою:
,  т.е.  
  Правило вычитания показателей при делении
может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.
  В случае целого положительного n будем иметь:
(e z) n = e z e z ... e z = e nz

тригонометрическая форма :: сложение и вычитание :: умножение :: деление :: возвышение в степень :: извлечение корня :: показательная функция :: логарифмирование ::

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

РЕКЛАМА