Математика on-line   


Поиск по сайту

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

случайные события. вероятность события :: равносильные события :: действия над событиями :: теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий) ::

Действия над событиями.
Полная группа событий.

  Дадим определения всех действий, которые можно производить над событиями.
  Определение 1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B.
  Говорят также, что А влечет за собой B и пишут:
А М B  или  B Й A
  Например, при бросании игральной кости событие А, состоящее в появлении двух очков, есть частный случай события B, состоящего в появлении четного числа очков.
 Если А влечет за собой B, а B влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.
  Определение 2. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через
АB
  Определение 3. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через
А + B
  Определение 4. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначает- ся через .
  Определение 5. Событие (А и ), состоящее в том, что A происходит, а B не происходит, называется разностью событий А и B и обозначается через
А - B
  Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, А - B = A.
  Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий:
А + В + ... + N = (А или B или ... или N)
есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A, В, ... N;
АВ ... N = (А и B и ... и N)
есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий A, В, ... , N.
  Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий A1 , A2 , ... , An , ... .
  Пример. При бросании игральной кости событие A означает выпадение четного числа очков, событие B означает выпадение не менее 3 очков (т. е. 3, 4, 5 или 6) и событие С означает выпадение одного очка. Тогда:
  A + B = (A или B) состоит в появлении числа очков, большего или равного двум;
  А + В + С = (А или B или C) есть достоверное событие;
  AB = (A и B) означает выпадение «четверки» или «шестерки»;
  ABC = (A и B и C) есть невозможное событие, невозможными являются также AC и BC;
   состоит в выпадении нечетного числа очков;
   означает появление не более двух очков;
   означает появление любого числа очков, кроме одного очка;
  A - B = A состоит в выпадении «двойки»;
  B - A = B состоит в выпадении «тройки» или «пятерки» и т. д.

  Сделаем предостережение: сумма и произведение есть действия с событиями, а не с числами, и поэтому, конечно, законы обычной алгебры для них могут не выполняться. Например, если A + B = C, то отсюда, вообще говоря, не следует, что A = C - B.
  Действительно, пусть A — выпадение четного числа очков, B — выпадение не менее трех очков. Тогда C = A + B означает выпадение 2, 3, 4, 5 или 6 очков, а событие C - B = C состоит в выпадении «двойки» и отнюдь не равносильно событию A.
  Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохраняются и для действий над событиями. Например, имеет место переместительный закон:
А + В = В + А, АВ = ВА;
выполняется распределительный закон:
(А + В) С = АС + BС,
так как левая и правая части представляют событие, состоящее в том, что происходят событие C и по крайней мере одно из событий A и B. Справедлив также сочетательный закон:
А + (В + С) = (А + В) - С = А + В + С; А(ВС) = (АВ)С = АВС.
  Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С:
АА = А, А + А = А, А + АВ = А, АВ + С = (A + С) (B + C)
и т. д.
  Понятия противоположного события, произведения, суммы и разности событий проиллюстрированы на рисунке. На квадрат наудачу бросается точка. Попадание точки в заштрихованную область озна- чает наступление соответствующего события.

Событие A

Событие

Событие B

Событие
 
Событие
AB
Событие
A+B
Событие
A=B
Событие
A+=B+=D
Событие
A-B=A

  Событие, противоположное противоположному, есть исходное событие: = A, так что можно говорить просто о двух противоположных событиях A и . Противоположные события характеризуются соотношениями
A + = D,   A = H
 Сумма их есть достоверное событие, а произведение — невозможное событие (смотри рисунок).
  Определение 6. Два события A и B называются несовместимыми, если они не могут появиться совместно, т. е. если
AB = H
  Например, при бросании игральной кости появление 1 очка и появление 2 очков представляют несовместимые события.
  Ясно, что противоположные события являются несовместимыми.
  Если
B = A1 + A2 + ... + An
и события A попарно несовместимы, т. е. каждое несовместимо с остальными:
Ai Ak = H при i k,
  то говорят, что событие B подразделяется на частные случаи A1 , A2 , ... , An .
  Например, событие B, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на частные случаи E1 , E3 , E5 , состоящие соответственно в выпадении 1, 3 и 5 очков.
Определение 7. Если
A1 + A2 + ... + An = D,
  т.е. если хотя бы одно из событий A1 , A2 , ... , An непременно должно осуществиться, то говорят, что события A1 , A2 , ... , An образуют полную группу событий.
  Если при этом Ai попарно несовместимы (т. е. достоверное событие D подразделяется на частные случаи A1 , A2 , ... , An ), то говорят что события A1 , A2 , ... , An образуют полную систему событий.
  Таким образом, если A1 , A2 , ... , An — полная система событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий A1 , A2 , ... , An.
  Пример. При бросании игральной кости события B , E2 , E4 , E6 ,, состоящие соответственно в выпадении нечетного числа очков, 2, 4 и 6 очков образуют полную систему.
  Полную систему составляют также события E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6, со- стоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.
случайные события. вероятность события :: равносильные события :: действия над событиями :: теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий) ::

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕКЛАМА